Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8），點C的坐標為（﹣2，4），點M，N分別為四邊形OABC邊上的動點，動點M從點O開始，以每秒1個單位長度的速度沿O→A→B路線向終點B勻速運動，動點N從O點開始，以每秒兩個單位長度的速度沿O→C→B→A路線向終點A勻速運動，點M，N同時從O點出發，當其中一點到達終點后，另一點也隨之停止運動，設動點運動的時間t秒（t＞0），△OMN的面積為S．

（1）填空：AB的長是　 　，BC的長是　 ；

（2）當t=3時，求S的值；

（3）當3＜t＜6時，設點N的縱坐標為y，求y與t的函數關系式；

（4）若S=，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）10，6（2）6（3）y=t（4）若S=，此時t的值8s或s或s

【解析】

試題分析:（1）利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖1中，作CE⊥x軸于E．連接CM．當t=3時，點N與C重合，OM=3，易求△OMN的面積；

（3）如圖2中，當3＜t＜6時，點N在線段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．則F（0，4）．由GN∥CF，推出，即，可得BG=8﹣t，由此即可解決問題；

（4）分三種情形①當點N在邊長上，點M在OA上時．②如圖3中，當M、N在線段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，則OE==，列出方程即可解決問題．③同法當M、N在線段AB上，相遇之后，列出方程即可；

試題解析：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB===10．

BC==6．

（2）如圖1中，作CE⊥x軸于E．連接CM．

∵C（﹣，4），∴CE=4OE=，在Rt△COE中，OC===6，當t=3時，點N與C重合，OM=3，∴S△ONM=OMCE=×3×4=6，即S=6．

（3）如圖2中，當3＜t＜6時，點N在線段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．則F（0，4）．∵OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∵GN∥CF，∴，即，∴BG=8﹣t，∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．

（4）①當點N在邊長上，點M在OA上時， tt=，解得t=（負根已經舍棄）．

②如圖3中，當M、N在線段AB上，相遇之前．

作OE⊥AB于E，則OE==，由題意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）] = ，解得t=8，同法當M、N在線段AB上，相遇之后．

由題意[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10] = ，解得t=．

綜上所述，若S=，此時t的值8s或s或s．