Question

如圖（1）在直角坐標系中．一條曲線y=（x＞0）與矩形AOBC的兩邊交于M（4，2）、N兩點．且四邊形MONC的面積是8．
（1）說明：矩形AOBC是正方形．
（2）如圖（2）．若點P（a，b）是這條曲線MN段（含端點）上的一動點，由點P向x軸、y軸作垂線PE、PD．垂足是E、D，與線段AB分別交于F、G．
①填空：點F的坐標______（用b的代數式表示）；點G的坐標______〔用a的代數式表示）；
②說明：△BOG∽△AFO；
③當點P在曲找y=的MN段（含端點）上移動時．△OFC隨之變動．是否存在點P，使△OFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點M（4，2）在雙曲線y=的圖象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數的解析式為y=，
∴S_△AOM=S_△BON=|k|=4，
∴S_矩形AOBC=S_△AOM+S_△BON+S_{四邊形MONC}=4+4+8=16，
又∵OA=4，OA•OB=16，
∴OB=4，
∴OA=OB，
∴矩形AOBC是正方形；

（2）①設直線AB的解析式為y=mx+n，
將A（4，0），B（0，4）代入，得，
解得，
則直線AB的解析式為y=-x+4．
∵點P（a，b）是曲線y=的MN段（含端點）上的一動點，由點P向x軸、y軸作垂線PE、PD．垂足是E、D，與線段AB分別交于F、G，
∴ab=8，點F的縱坐標為b，點G的橫坐標為a．
當y=b時，x=b-4，則點F的坐標為（4-b，b）；
當x=a時，y=-a+4，則點G的坐標為（a，4-a）；
②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OBG=∠FAO=45°．
∵AF==b，BG==a，
∴AF•BG=b•a=2ab=2×8=16=OA•OB，
∴OB：AF=BG：OA．
在△BOG與△AFO中，

∴△BOG∽△AFO；
③∵S_△BON=•OB•BN=4，OB=4，
∴BN=2，
∴N點坐標為（2，4）．
∵點P（a，b）在曲線y=的MN段（含端點）上移動，M（4，2），
∴2≤a≤4．
若△OFG是等腰三角形，分三種情況：
Ⅰ）如果OF=OG，那么（4-b）²+b²=（4-a）²+a²，
整理，得a²-b²-4a+4b=0，
（a-b）（a+b-4）=0，
∴a-b=0或a+b-4=0，
∵ab=8，∴b=，
∴a+b-4=0時，a+-4=0，a²-4a+8=0，△＜0，無解；
∴a=b=2，P點坐標為（2，2）；
Ⅱ）如果FO=FG，那么（4-b）²+b²=2（a+b-4）²，
整理，得a²-8a-4b+24=0，
將b=代入，整理得a³-8a²+24a-32=0，
（a-4）（a²-4a+8）=0，
∵a²-4a+8＞0，
∴a-4=0，a=4，
∴P點坐標為（4，2）；
Ⅲ）如果GO=GF，那么（4-a）²+a²=2（a+b-4）²，
整理，得b²-8b-4a+24=0，
將a代入，整理得b³-8b²+24b-32=0，
（b-4）（b²-4b+8）=0，
∵b²-4b+8＞0，
∴b-4=0，b=4，
∴P點坐標為（2，4）；
綜上可知，存在點P（2，2）或（4，2）或（2，4），能使△OFG是等腰三角形．
分析：（1）先將M（4，2）代入y=，運用待定系數法求出反比例函數的解析式，再根據反比例函數比例系數k的幾何意義得出S_△AOM=S_△BON=|k|=4，則矩形AOBC的面積為16，又OA=4，根據面積公式得出OB=4，則矩形AOBC是正方形；
（2）①先運用待定系數法求出直線AB的解析式，再將點F的縱坐標b代入，求出點F的橫坐標；將點G的橫坐標a代入，求出點G的縱坐標；
②由于∠OBG=∠FAO=45°，再根據兩點間的距離公式分別求出AF、BG的長度，得出OB：AF=BG：OA，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可證明△BOG∽△AFO；
③分三種情況討論：OF=OG；FO=FG；GO=GF，針對每一種情況，列出方程，解方程即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求函數的解析式，反比例函數的圖象與性質，矩形的性質，正方形的判定，相似三角形與等腰三角形的判定，有一定難度，其中（2）中第③小問進行分類討論是解題的關鍵．