Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，過點A作直線MN⊥AC，點P是直線MN上的一個動點(與點A不重合)，連結CP交AB于點D，設AP=，AD=．
【小題1】如圖1，若點P在射線AM上，求y與x的函數解析式；

【小題2】射線AM上是否存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似，若存在，求AP的長，若不存在，說明理由；
【小題3】如圖2，過點B作BE⊥MN，垂足為E，以C為圓心、AC為半徑的⊙C與以P為圓心PD為半徑的動⊙P相切，求⊙P的半徑

Answer 1

【小題1】
【小題2】當AP的長為4.5時，△ABC∽△PAD
【小題3】⊙E的半徑為16或.解析:
（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC ∴
∵AC=6，BC=8， ∴AB=10  ∵AP=，AD=    ∴  
∴
（2）假設射線AM上存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似
∵AM∥BC     ∴∠B=∠BAE
∵∠ACB=90°  ∠APD≠90°
∴△ABC∽△PAD
∴∴   解得：4.5
∴當AP的長為4.5時，△ABC∽△PAD
（3）∵⊙C與⊙P相切，AP=
①當點P在線段AD上，⊙C與⊙P外切時，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得：   ∴⊙P的半徑為.
②點P在射線MA上，當⊙C與⊙P內切時，PE=， EC=
在直角三角形PAC中，     
∴   解得：（舍去）∴⊙P的半徑為16.
③點P在射線AD上，當⊙C與⊙P外切時，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得： (舍去)
當⊙C與⊙P內切時，PE=， PC=
在直角三角形PAC中，    
∴   解得：(舍去)  
∴當⊙C與⊙P相切時，⊙E的半徑為16或.