Question

（2013•丹江口市模擬）如圖，拋物線y=ax²-2ax-3a交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C右邊），頂點(diǎn)為D．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出A、D的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
（2）若以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)OA=OB時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠DBO=∠MDB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令y=0來(lái)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；把拋物線方程轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式易求AD²=1+a²，BD²=4+16a²，AB²=9+9a²．然后分別以AD、BD、AB為斜邊來(lái)求相應(yīng)的a的值；
（3）由OA=OB易求D（1，4），B（3，0）．若點(diǎn)M在x≥1的拋物線上時(shí)，因?yàn)椤螪BO=∠MDB，所以MD∥OB，又點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，不符合題意．故點(diǎn)M在x＜1的拋物線上．如圖，延長(zhǎng)DM交x軸于點(diǎn)F，連接BD．設(shè)F（x，0）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F、D的坐標(biāo)易求直線FD的方程，由該方程結(jié)合拋物線方程列出方程組，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3a，
∴與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3a）．
∵拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于B，C兩點(diǎn)（B在C右邊），
∴a≠0，
令y=0，解得x=3或-1，
∴B（3，0），C（-1，0），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4a）；

（2）由（1）知A（0，-3a），D（1，-4a），
∴AD²=1+（-3a+4a）²=1+a²，
BD²=（3-1）²+（4a）²=4+16a²，
AB²=3²+（3a）²=9+9a²．
若以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則分三種情況討論：
①若∠ADB=90°，則AD²+BD²=AB²，
∴1+a²+4+16a²=9+9a²，
∴a=±

2

2

；
②若∠DAB=90°，則AD²+AB²=BD²，
∴1+a²+9+9a²=4+16a²，
∴a=±1；
③若∠ABD=90°，則BD²+AB²=AD²，
∴4+16a²+9+9a²=1+a²，
a無(wú)解．
綜上，若以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則a₁=

2

2

，a₂=-

2

2

，a₃=1，a₄=-1；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)M，能夠使∠DBO=∠MDB．
如圖，∵OA=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1．
∴A（0，3），D（1，4），B（3，0）．
若點(diǎn)M在x≥1的拋物線上時(shí)，∵∠DBO=∠MDB，∴MD∥OB，又點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，∴點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，不符合題意．
∴點(diǎn)M在x＜1的拋物線上．
如圖，延長(zhǎng)DM交x軸于點(diǎn)F，連接BD．設(shè)F（x，0）．
∵∠DBO=∠MDB，
∴FD=FB．
∴（1-x）²+4²=（3-x）²，解得x=-2．則F（-2，0）．
易求直線FD的方程為：y=

4

3

x+

8

3

．
則

y= 4 3 x+ 8 3 y=-x2+2x+3

，
解得

x=- 1 3 y= 20 9

或

x=1 y=4

（舍去），
即M（-

1

3

，

20

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．