Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx－4與x軸交于A(4，0)、B(－2，0)兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點(端點除外)，過點P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)動點P運動到何處時，BP²＝BD·BC；
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)由題意，得，解得，
∴拋物線的解析式為y＝－x－4；
(2)設(shè)點P運動到點(x，0)時，有BP²＝BD·BC，
令x＝0時，則y＝－4，∴點C的坐標(biāo)為(0，－4)．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC＝，
AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．
∴BD＝＝＝．
∵BP²＝BDBC，
∴(x＋2)²
解得x₁＝，x₂＝－2(－2不合題意，舍去)，
∴點P的坐標(biāo)是(，0)，
即當(dāng)點P運動到(，0)時，BP²＝BD·BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×S_△BPC
＝×(x＋2)×4－
∵，
∴當(dāng)x＝1時，S_△BPC有最大值為3．即點P的坐標(biāo)為(1，0)時，△PDC的面積最大．