Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ACO與sin∠BCO的乘積；
（3）在線段BC邊上是否存在點P，使得以B、O、P為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）在對稱軸上是否存在一點P，使|PC-PB|的值最大，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數頂點式可求函數解析式；
（2）先解方程-x²+2x+3=0，易求A、B點的坐標，從而易得OA=1，OC=3，OB=3，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求BC，進而可求tan∠ACO•sin∠BCO；
（3）分兩種情況討論：①當△BPO∽△BAC時，有BP：OB=BA：CB，易求BP，再過P作PG⊥x軸，交x軸于點G，由于PG∥OC，那么△BPG∽△BCO，利用比例線段可求PG，再利用勾股定理易求BG，從而可求OG，最后可得P點坐標；
②當△BPO∽△BCA時，同理可求P；
（4）存在，先利用對稱性可求C點的對稱點N，過BN作直線，交對稱軸于P，先求過B、N的直線，再把x=1代入函數解析式即可求y，從而可得P點坐標．
解答：解：根據題意可得
（1）y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）解方程-x²+2x+3=0得
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，OB=3，
∴BC=，
∴tan∠ACO•sin∠BCO=×=；

（3）①當△BPO∽△BAC時，有
BP：OB=BA：CB，
∴BP=2，
過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，
∵PG∥OC，
∴△BPG∽△BCO，
∴PG：OC=BP：BC，
∴PG=2，
在Rt△BPG中，BG=2，∴OG=1，
∴P點坐標是（1，2），
②當△BPO∽△BCA時，同理可求P；

（4）存在，理由是：
利用對稱性原理：求出C點的對稱點N（2，3），
過B、N作直線，交對稱軸于點P，
設直線BN的方程是y=ax+b，那么
，
解得y=-3x+9，
當x=1時，y=6，
故P點坐標是（1，6）．
點評：本題考查了二次函數的有關知識、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論、勾股定理、三角函數的計算、解方程組．解題的關鍵是要注意結合題意畫圖，并且知道二次函數具有對稱性．