Question

如圖，直線y=-

3

3

x+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于B、C兩點(diǎn)，且AB•AC=4，則k=

 

．

Answer 1

分析：先求出直線與x軸和y軸的兩交點(diǎn)D與A的坐標(biāo)，根據(jù)OA與OD的長度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角ADO的度數(shù)，然后過B和C分別作y軸的垂線，分別交于E和F點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可表示出EB與FC的積，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB與AB的關(guān)系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC與AC的關(guān)系，根據(jù)AB•AC=4列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：對直線方程y=-

3

3

x+b，令y=0，得到x=

3

b，即直線與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

b，0），
令x=0，得到y(tǒng)=b，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
∴OA=b，OD=

3

b，
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=

OA

OD

=

3

3

，
∴∠ADO=30°，即直線y=-

3

3

+b與x軸的夾角為30°，
∵直線y=-

3

3

x+b與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，
∴-

3

3

x+b=

k

x

，即-

3

3

x²+bx-k=0，
由韋達(dá)定理得：x₁x₂=

c

a

=

3

k，即EB•FC=

3

k，
∵

EB

AB

=cos30°=

3

2

，
∴AB=

2 3

3

EB，
同理可得：AC=

2 3

3

FC，
∴AB•AC=（

2 3

3

EB）（

2 3

3

FC）=

4

3

EB•FC=

4

3

3

k=4，
解得：k=

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，同時考查了三角函數(shù)的知識，難度較大．