Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（5，0）、B（6，-6）和原點．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若過點B的直線y=kx+b與拋物線交于點C（2，m），請求出△OBC的面積S的值；
（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E．直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED，是否存在點P，使得△OCD與△CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B，C三點代入二次函數解析式即可求得二次函數解析式．
（2）把點C的橫坐標代入拋物線解析式，可求得縱坐標，把點C、B坐標代入一次函數解析式即可求得一次函數解析式．進而求得OG長．S_△OBC=S_△OGC+S_△OGB
（3）兩三角形相似，已有兩個直角相等，那么夾直角的兩邊對應成比例；注意對應邊的不同可分兩種情況進行分析．
解答：解：（1）由題意得：，（2分）
解得．
故拋物線的函數關系式為y=-x²+5x；

（2）因為C在拋物線上，
所以-2²+5×2=m，所以m=6（5分）
所以C點坐標為（2，6）
因為B，C在直線y=kx+b′上，
所以．
解得k=-3，b′=12
直線BC的解析式為y=-3x+12
設BC與x軸交于點G，則G的坐標為（4，0）
所以S_△OBC==24

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE設P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，則要=或=
即=或=
解得m=20-3n或n=12-3m
又因為（m，n）在拋物線上，
．
或．
解得，即，
或，即，
故P點坐標為（，）和（6，-6）．
點評：通常采用待定系數法求函數解析式；兩對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似．