Question

7．已知OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6，
（1）如圖甲：在OA上選取一點D，將△COD沿CD翻折，使點O落在BC邊上，記為E．求折痕CD 所在直線的解析式；
（2）如圖乙：在OC上選取一點F，將△AOF沿AF翻折，使點O落在BC邊，記為G．
①求折痕AF所在直線的解析式；
②再作GH∥AB交AF于點H，若拋物線$y=-\frac{1}{12}{x^2}+h$過點H，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AF的公共點的個數．
（3）如圖丙：一般地，在以OA、OC上選取適當的點I、J，使紙片沿IJ翻折后，點O落在BC邊上，記為K．請你猜想：①折痕IJ所在直線與第（2）題②中的拋物線會有幾個公共點；②經過K作KL∥AB與IJ相交于L，則點L是否必定在拋物線上．將以上兩項猜想在（l）的情形下分別進行驗證．

Answer 1

分析 （1）根據折疊可知四邊形ODEC是正方形，由此可得知C、D點坐標，設出直線解析式，代入兩點坐標即可求得；
（2）借用直角△ABG和△FCG，可以求出OF、CG的長度，由此可得折痕AF所在直線的解析式，由CG的長得知G點坐標，設出H點坐標，由H在直線和拋物線上可求出拋物線的解析式，再將直線解析式代入拋物線解析式中，由根的判別式△=0可得知僅有一個交點；
（3）結合（2）得出猜想，再到圖甲中找到特殊情況下，各點所對應的點，代入即可得以驗證．

解答 解：（1）由折法知：四邊形ODEC是正方形，
∴OD=OC=6，
∴D（6，0），C（0，6），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{6=0+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-x+6．
（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10，
故BG=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，∴CG=2，
設OF=m，則FG=m，CF=6-m，
在直角△CFG中，m²=（6-m）²+2²，解得m=$\frac{10}{3}$，
則F（0，$\frac{10}{3}$），
設直線AF為y=k′x+$\frac{10}{3}$，將A（10，0）代入，得k′=-$\frac{1}{3}$，
∴AF所在直線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$．
②∵GH∥AB，且G（2，6），可設H（2，y_F），
由于H在直線AF上，
∴把H（2，y_F）代入直線AF：y_F=-$\frac{1}{3}$×2+$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴H（2，$\frac{8}{3}$），
又∵H在拋物線上，$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{12}$×2²+h，解得h=3，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{12}$x²+3，
將直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$，代入到拋物線y=-$\frac{1}{12}$x²+3，
得-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$=0，
∵△=${（\frac{1}{3}）}^{2}$-4×（-$\frac{1}{12}$）×（-$\frac{1}{3}$）=0，
∴直線AF與拋物線只有一個公共點．
（3）可以猜想以下兩個結論：
①折痕IJ所在直線與拋物線y=-$\frac{1}{12}$x²+3只有一個公共點；
②經過K作KL∥AB與IJ相交于L，則點L一定在拋物線y=-$\frac{1}{12}$x²+3上．
驗證①，在圖甲的特殊情況中，I即為D，J即為C，G即為E，K也是E，KL即為ED，L就是D，
將折痕CD：y=-x+6代入y=-$\frac{1}{12}$x²+3中，得-$\frac{1}{12}$x²+x-3=0，
∵△=1-4×（-$\frac{1}{12}$）×（-3）=0，
∴折痕CD所在的直線與拋物線y=-$\frac{1}{12}$x²+3只有一個公共點．
驗證②，在圖甲的特殊情況中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），
當x=6時，y=-$\frac{1}{12}$×6²+3=0，
∴點L在這條拋物線上．

點評 本題考查了二次函數的綜合運用，解題的關鍵是利用折疊的特性，找出等量關系．