Question

如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．
（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）關鍵是求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；
（3）本問為存在型問題．可以先假設存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．
解答：解：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax²+b上，
∴，解得：a=-1，b=1，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+1，
拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關于y軸對稱，∴B（-1，0）．

（2）設過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：
，解得k=-1，b=1，∴y=-x+1．
∵BD∥CA，∴可設直線BD的解析式為y=-x+n，
∵點B（-1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=-1，
∴直線BD的解析式為：y=-x-1．
將y=-x-1代入拋物線的解析式，得：-x-1=-x²+1，解得：x₁=2，x₂=-1，
∵B點橫坐標為-1，則D點橫坐標為2，
D點縱坐標為y=-2-1=-3，∴D點坐標為（2，-3）．
如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；
∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假設存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，
則有，即，∴PE=3BE．
設OE=m（m＞0），則E（-m，0），BE=1-m，PE=3BE=3-3m，
∴點P的坐標為（-m，3-3m）．
∵點P在拋物線y=-x²+1上，
∴3-3m=-（-m）²+1，解得m=1或m=2，
當m=1時，點E與點B重合，故舍去；當m=2時，點E在OB左側，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．
因此，此種情況不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，
則有，即，∴BE=3PE．
設OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，
∴點P的坐標為（m，+m）．
∵點P在拋物線y=-x²+1上，
∴+m=-（m）²+1，解得m=-1或m=，
∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，
點P的縱坐標為：+m=+×=，
∴點P的坐標為（，）．
綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（，）．
點評：本題是代數幾何綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形的判定與性質、勾股定理等重要知識點．第（2）問的解題要點是求出點D的坐標，第（3）問的解題要點是分類討論．