Question

如圖，AB，CD是⊙O的直徑，點E在AB延長線上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延長線交CD延長線于點G，DG=GE=3，連接FD．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）⊙0半徑為R，則OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）²=（R+2）²+3²，求出即可；
（2）證△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根據切線的判定推出即可．
解答：（1）解：設⊙0半徑為R，則OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG²=OE²+EG²，
∴（R+3）²=（R+2）²+3²，
R=2，
即⊙O半徑是2．

（2）證明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中

∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD為半徑，
∴DF是⊙O的切線．
點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，切線的判定的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，用了方程思想．