Question

電焊工想利用一塊邊長為a的正方形鋼板ABCD做成一個扇形，于是設計了以下三種方案：
方案一：如圖1，直接從鋼板上割下扇形ABC．
方案二：如圖2，先在鋼板上沿對角線割下兩個扇形，再焊接成一個大扇形（如圖3）．
方案三：如圖3，先把鋼板分成兩個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將四個小扇形按與圖3類似的方法焊接成一個大扇形．



試回答下列問題：
（1）容易得出圖1、圖3中所得扇形的圓心角均為90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圓心角也為90°嗎？為什么？
（2）容易得出圖1中扇形與圖3中所得大扇形的面積相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面積也與方案二所焊接成的大扇形的面積相等嗎？若不相等，面積是增大還是減小？為什么？
（3）若將正方形鋼板按類似圖4的方式割成n個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將這2n個小扇形按類似方案三的方式焊接成一個大扇形，則當n逐漸增大時，所焊接成的大扇形的面積如何變化？

Answer 1

（1）不能為90°．
取AB、HG的中點M、N，連接MN、MH．
在△BMH中，∠BMH=135°，∠MBH+∠MHB=45°，
又 MH＞MB，
∴∠MBH＞∠MHB，
∴∠MBH＞22.5°，
∴4∠ABH＞90°，
∴按方案三所焊接而成的大扇形的圓心角必大于90°．


（2）不能相等，面積增大．
∵S_扇形=

θπr2

360

，
由于

πr2

360

為常數且大于零，
∴圓心角θ增大，扇形的面積必增大．

（3）n越大，所焊接成的大扇形的面積也越大．
∵n越大，焊接而成的大扇形的圓心角越大．