Question

已知反比例函數(shù)y=

12

x

的圖象和一次函數(shù)y=kx-7的圖象都經(jīng)過P（m，2）．有A、B兩點在這個一次函數(shù)的圖象上，過A、B向x軸作垂線，與這個反比例函數(shù)的圖象分別交于C、D兩點，連接C、D，若CD=AB，且A和B的橫坐標(biāo)分別為2和2+a．
（1）求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）求a的值；
（3）求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）將P坐標(biāo)代入反比例解析式中，求出m的值，確定出P的坐標(biāo)，將P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出k的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由題意及（1）中確定出的一次函數(shù)解析式，表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，由AB=CD，得到CD²=AB²，利用兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）由求出a的值，得到A、B、C、D的坐標(biāo)，即可求出四邊形ABCD的周長．

解答：解：（1）∵P（m，2）在反比例函數(shù)y=

12

x

的圖象上，
∴將x=m，y=2代入反比例解析式得：2=

12

m

，即m=6，
∴P（6，2），
∵P（6，2）在y=kx-7上，
∴將x=6，y=2代入得：2=6k-7，即k=

3

2

，
∴一次函數(shù)解析式為y=

3

2

x-7；

（2）由條件知A（2，-4），B（2+a，-4+

3

2

a），C（2，6），D（2+a，

12

2+a

），
∵CD=AB，∴CD²=AB²，
∴a²+（

12

a+2

-6）²=a²+

9

4

a²，即

12

a+2

-6=

3

2

a，即

12

a+2

-6=-

3

2

a，
解得：a=0（舍去）或a=-6；a=0（舍去）或a=2，
經(jīng)檢驗a=-6與a=2是原方程的解，
則a的值為-6或2；

（3）當(dāng)a=2時，A（2，-4），B（4，-1），C（2，6），D（4，3），四邊形ABCD的周長為14+2

13

；
當(dāng)a=-6時，A（2，-4），B（-4，-13），C（2，6），D（-4，-3），四邊形ABCD的周長為20+2

117

．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．