Question

【題目】已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D為△ABC外部一點，∠BDC=45°，點F在CD上且AF∥DB．

（1）如圖①，求證：；

（2）如圖②，將△BCD沿BC翻折得到△BCD1，過點B作BG⊥CD1，垂足為G，連接AG交CD于E，交BC于H．若AF=，∠BCD=15°，求AG的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過點A作AM⊥AF，交DC于點M，連接BM，利用平行線的性質得到∠AMF=45°，從而得到△AMF是等腰直角三角形，MF=，然后利用AAS定理證得△ABM≌△ACF，然后根據全等三角形的性質得出∠AMB=∠AFC=180°-∠AFM=135°，再結合已知條件求得△BDM是等腰直角三角形，，從而使問題得解；

（2）過點A作AM⊥AF，交DC于點M，連接BM，過點A作AN⊥CD，AK⊥CG，根據（1）中的證明，通過利用等腰直角三角形及折疊的性質得到CD=C D1=，∠D=∠D1=45°，∠DCB=∠D1CB=15°，BC平分∠DCD1，然后利用含30°直角三角形的性質，求得，，最后利用勾股定理求解．

解：（1）如圖1，過點A作AM⊥AF，交DC于點M，連接BM

∵∠BDC=45°，且AF∥DB

∴∠AFM=45°

又∵AM⊥AF，∴∠MAF=90°

∴∠AMF=∠AFM=45°

∴AM=AF，即△AMF是等腰直角三角形

∴MF=

又因為∠BAC=90°，∠MAF=90°

∴∠MAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90°

∴∠MAB =∠FAC

又∵AB=AC

∴△ABM≌△ACF

∴∠AMB=∠AFC=180°-∠AFM=135°

所以∠BMC=90°

又因為∠BDC=45°

∴△BDM是等腰直角三角形

∴

∴DF-MF=DM

即；

（2）如圖2，過點A作AM⊥AF，交DC于點M，連接BM，過點A作AN⊥CD，AK⊥CG

由（1）可知△BDM和△AMF是等腰直角三角形， △ABM≌△ACF

∴AM=AF=，MF=，∠AMF=45°

又∵AN⊥CD

∴

∵∠BCD=15°，∴在Rt△ANC中，∠CAN=30°

∴AC=2AN=2，CN=

又∵等腰直角△AMF中，AN⊥MF，

∴MN=NF

∵△ABM≌△ACF且△BDM是等腰直角三角形

∴BM=DM=CF

∴MN+DM=NF+CF

∴CD=，DM=BM=CF=

又由折疊性質可知，CD=C D1=，∠D=∠D1=45°，∠DCB=∠D1CB=15°，BC平分∠DCD1

∴∠ACK=60°，在Rt△ACK中，∠CAK=30°

∴，

∵BG⊥CD1，BM⊥CD

∴BG=D1G=，CG=

∴GK=CG-CK=

∴在Rt△AGK中，．