Question

如圖，已知等邊△ABC中，D為AC上一動點．CD=nAD，連接BD，M為線段BD上一點，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，如圖1，則

BE

CE

=

1

，

BM

DM

=

2

；
（2）若n=2，如圖2，求證：2AB=3BE；
（3）當

BE

AB

=

7

9

時，則n的值為

3.5

．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得BD⊥AC，再根據∠AMD=60°推出∠CAE=30°，從而得到AE為∠BAC的平分線，再利用等腰三角形三線合一的性質可得BE=CE，即可得解；根據等邊三角形的性質求出∠BAM=∠ABM=30°，根據等角對等邊的性質可得AM=BM，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AM=2DM，等量代換求解即可；
（2）先根據∠AMD=60°結合等邊三角形每一個角都是60°推出∠ABD=∠CAE，然后利用“角邊角”證明△ABD與△CAE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CE，然后推出CD=BE，整理即可得證；
（3）用AB表示出BE、CE，然后根據（2）的結論可知n=

BE

CE

，進行計算即可得解．

解答：（1）解：當n=1時，CD=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD⊥AC，
∵∠AMD=60°，
∴∠CAE=90°-∠AMD=90°-60°=30°，
又∵等邊△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-30°=30°，
∴AE為∠BAC的平分線，
∴BE=CE（等腰三角形三線合一），
∴

BE

CE

=1，
∵BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAE=∠ABD=30°，
∴AM=BM，
在Rt△AMD中，AM=2MD（直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半），
∴BM=2MD，
故

BM

MD

=2；

（2）證明：在等邊△ABC中，∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠AMD=60°，
∴∠BAE+∠ABD=∠AMD=60°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD與△CAE中，

∠ABD=∠CAE AB=AC ∠BAC=∠C=60°

，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，
又∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-CE，
即CD=BE，
∵n=2，
∴CD=2AD，
∴BE=2CE，
∴BE=2（BC-BE）=2（AB-BE）=2AB-2BE，
整理得2AB=3BE；

（3）∵

BE

AB

=

7

9

，
∴BE=

7

9

AB=

7

9

BC，
∴CE=BC-BE=BC-

7

9

BC=

2

9

BC，
根據（2）的結論，CD=BE，AD=CE，
∴n=

CD

AD

=

BE

CE

=

7 9 BC

2 9 BC

=3.5．
故答案為：（1）1，2；（3）3.5．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的三條邊都相等，每一個角都是60°的性質，以及等腰三角形三線合一的性質，證明出△ABD與△CAE全等是解答本題的關鍵，也是難點．