Question

（1997•四川）已知：如圖，BD是?ABCD的對角線，∠ABD=90°，DE⊥BC，垂足為E，M，N分別是AB、DE的中點，tanC=

1

2

，S_△BCD=9cm²．求MN的長（不取近似值）．

Answer 1

分析：根據四邊形ABCD是平行四邊形，得出∠BDC=∠ABD=90°，根據tanC=

1

2

，得出

BD

CD

=

1

2

，設BD=xcm，則CD=2xcm，根據S_△BCD=

1

2

•x•2x=9，求出 x的值，從而得出BD、CD的長，在Rt△BDC中，求出BC=

BD2+CD2

，再根據AD=BC，求出AD，根據Rt△BED∽Rt△BDC，得出

BE

BD

=

BD

BC

，BE=

BD2

BC

，最后根據M、N分別是AB、DE的中點，得出MN=

AD+BE

2

即可求出答案．．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD
∴∠BDC=∠ABD=90°，
∵tanC=

1

2

，
∴

BD

CD

=

1

2

，
設BD=xcm，則CD=2xcm，
∴S_△BCD=

1

2

•x•2x=9（cm）²
解得  x=3（cm）
∴BD=3cm，CD=2x=2×3=6（cm），
在Rt△BDC中，由勾股定理，得
BC=

BD2+CD2

=

32+62

=3

5

（cm），
又∵AD=BC，
∴AD=3

5

（cm）
∵DE⊥BC，
∴Rt△BED∽Rt△BDC
∴

BE

BD

=

BD

BC

，
∴BE=

BD2

BC

=

32

3 5

=

3

5

5

（cm）
又∵AD∥BE，AB與DE不平行，
∴四邊形ABED是梯形．
∵M、N分別是AB、DE的中點，
∴MN=

AD+BE

2

=

3 5 + 3 5 5

2

=

9

5

5

（cm）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的性質，關鍵是運用有關性質和定理，列出算式，求出線段的長度．