Question

已知二次函數．
（1）請你通過計算判斷：函數的圖象與x軸是否有交點？
（2）設函數與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，請求出點A、B、C的坐標（可用含m的代數式表示）．
（3）在（2）的條件下，若△ABC是等腰三角形，求二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）∵△=（3m+）²-16m=（3m-）²≥0，
∴拋物線與x軸有交點；

（2）令y=0，得mx²-（3m+）x+4=0，解得x=3或，
令x=0，得y=4，
∴A（3，0），B（，0），C（0，4）；

（3）由（2）可知AC=5，
①當AB=AC，B點在A點左邊時，B（-2，0），
代入拋物線解析式，得m×（-2）²-（3m+）×（-2）+4=0，解得m=-，
②當AB=AC，B點在A點右邊時，B（8，0），
代入拋物線解析式，得m×8²-（3m+）×8+4=0，解得m=，
③當AC=BC時，B（-3，0），
代入拋物線解析式，得m×（-3）²-（3m+）×（-3）+4=0，解得m=-，
④當B在AC的垂直平分線上時，AB=BC，
設B（x，0），
∴（x-3）²=x²+4²，
∴x=-，
∴B（-，0），
代入拋物線解析式，得m×（-）²-（3m+）×（-）+4=0，解得m=-，
∴二次函數解析式為：y=-x²+x+4或y=x²-x+4或y=-x²+4或y=-x²-+x+4．
分析：（1）根據二次函數解析式的判別式進行判斷；
（2）分別令y=0，x=0，可求點A、B、C的坐標；
（3）根據①AB=AC，B點在A點左邊，②AB=AC，B點在A點右邊，③當AC=BC時，④B在AC的垂直平分線上，四種情況分別求B的坐標，代入拋物線解析式求m的值，確定拋物線解析式．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線解析式求A、C兩點坐標，得出AC的長度，根據AC為腰，為底邊分類求B點坐標．