Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，設(shè)交的角平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，且滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，理由詳見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，且滿足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形，理由詳見解析．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出，， 得出，，即可得出結(jié)論；

（2）先證明四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線相等，即可得出結(jié)論；

（3）由正方形的性質(zhì)得出，得出即可．

（1），

，

又平分，

，

，

，

同理：，

．

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形．

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，，

又，

四邊形是平行四邊形，

由（1）可知，，

，

，即，

四邊形是矩形．

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，且滿足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形．

由（2）知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，

，

，

，

，

四邊形是正方形．