Question

如圖，拋物線y=-x²+ax+b與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tanα-tanβ=2，∠ACB=90°．
①求拋物線的解析式；
②若拋物線頂點為P，求S_{四邊形ABPC}．

Answer 1

分析：（1）可先求得點C的坐標，再別表示出tanα、tanβ的值，根據兩者的等量關系及韋達定理即可求得a的值，從而確定二次函數的解析式．
（2）由拋物線的解析式，可求得P點坐標，進而可求得直線PC的解析式，延長PC交x軸于D，根據直線PC的解析式即可得到D點的坐標，那么四邊形ABPC的面積即可由△PDB和△ADC的面積差求得．

解答：解：（1）根據題意設點A（x₁，O）、點B（x₂，O），且C（O，b）；
x₁＜0，x₂＞0，b＞0，
∵x₁，x₂是方程-x²+ax+b=0的兩根，
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b；
在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB，
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴b²=-x₁•x₂=b，
∵b＞0，
∴b=1，
∴C（0，1）．
在Rt△AOC和Rt△BOC中，
tanα-tanβ=

OC

OA

-

OC

OB

=-

1

x1

-

1

x2

=-

x1+x2

x1x2

=

a

b

=2，（4分）
∴a=2，
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+1；（5分）

（2）∵y=-x²+2x+1，
∴頂點P的坐標為（1，2），
當-x²+2x+1=0時，x=1±

2

，
∴A（1-

2

，0），B（1+

2

，0），（6分）
延長PC交x軸于點D，過C、P的直線為y=x+1，
∴點D的坐標為（-1，0），（7分）
S_{四邊形ABPC}=S_△DPB-S_△DCA
=

1

2

•|DB|•y_p -

1

2

•|AD|•y_c
=

1

2

×(2+

2

)×2-

1

2

×(2-

2

)×1
=

2+3 2

2

．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，本題涉及到了直角三角形的性質、根與系數的關系、銳角三角形函數、二次函數解析式的確定以及圖形面積的求法，當所求圖形不規則或無法直接求出其面積時，一般將其轉化成其他規則圖形的面積的和差來解．