Question

在黃州服裝批發市場，某種品牌的時裝當季節將來臨時，價格呈上升趨勢，設這種時裝開始時定價為20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始保持30元的價格平穩銷售；從第12周開始，當季節即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售．
（1）試建立銷售價y與周次x之間的函數關系式；
（2）若這種時裝每件進價Z與周次x次之間的關系為Z=-0.125（x-8）²+12.1≤x≤16，且x為整數，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：由于y與x之間的函數關系式為分段函數，則w與x之間的函數關系式亦為分段函數．分情況解答．

解答：解：（1）依題意得，可建立的函數關系式為：
∴y=

20+2(x-1)  (1≤x＜6) 30  (6≤x≤11) 30-2(x-11)  (12≤x≤16)

；
即y=

2x+18 (1≤x＜6) 30 (6≤x≤11) -2x+52 (12≤x≤16)

.4分
（2）設利潤為W，則W=售價-進價
故W=

20+2x+ 1 8 (x-8)2-14  (1≤x＜6) 30+ 1 8 (x-8)2-12  (6≤x≤11) 1 8 (x-8)2-2x+40  (12≤x≤16)

，
化簡得W=

1 8 x2+14(1≤x＜6) 1 8 x2-2x+26 (6≤x≤ 11) 1 8 x2 -4x+48 (12≤x≤16)

①當W=

1

8

x2+14時，∵當x≥0，函數W隨著x增大而增大，∵1≤x＜6
∴當x=6時，W有最大值，最大值=18.5
②當W=

1

8

x2-2x+26時，∵W=

1

8

(x-8)2+18，當x≥8時，函數W隨x增大而增大，
∴在x=11時，函數有最大值為19

1

8

③當W=

1

8

x2-4x+48時，∵W=

1

8

(x-16)2+16，
∵12≤x≤16，當x≤16時，函數W隨x增大而減小，
∴在x=12時，函數有最大值為18
綜上所述，當x=11時，函數有最大值為19

1

8

．

點評：本題考查的是二次函數的運用，由于計算量大，考生在做這些題的時候要耐心細心．難度中上．此題是分段函數，題目所涉及的內容在求解過程中，要注意分段函數問題先分段解決，最后再整理、歸納得出最終結論，另外還要考慮結果是否滿足各段的要求，這是解此類綜合應用題目的特點．