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(2007•雙柏縣)如圖所示,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,點P不與點0、點A重合.連接CP,過點P作PD交AB于點D.
(1)求點B的坐標;
(2)當點P運動什么位置時,△OCP為等腰三角形,求這時點P的坐標;
(3)當點P運動什么位置時,使得∠CPD=∠OAB,且,求這時點P的坐標.
【答案】分析:(1)過B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°,在Rt△BQA中,根據三角函數的定義可得QB的長,進而可得OQ的長;即可得B的坐標;
(2)分點P在x正半軸上與x負半軸上上兩種情況討論,結合等腰三角形的性質,可得OP、OC的長,進而可得答案;
(3)根據題意易得△COP∽△PAD,進而可得比例關系,代入數據可得答案.
解答:解:(1)過B作BQ⊥OA于Q,則∠COA=∠BAQ=60°,
在Rt△BQA中,QB=ABsin60°=

∴OQ=OA-QA=7-2=5.
∴B(5,).

(2)①當OC=OP時,若點P在x正半軸上,
∵∠COA=60°,△OCP為等腰三角形,
∴△OCP是等邊三角形.
∴OP=OC=CP=4.
∴P(4,0).
若點P在x負半軸上,
∵∠COA=60°,
∴∠COP=120°.
∴△OCP為頂角120°的等腰三角形.
∴OP=OC=4.
∴P(-4,0)
∴點P的坐標為(4,0)或(-4,0).
②當OC=CP時,由題意可得C的橫坐標為:4×cos60°=2,
∴P點坐標為(4,0)
③當OP=CP時,
∵∠COA=60°,
∴△OPC是等邊三角形,同①可得出P(4,0).
綜上可得點P的坐標為(4,0)或(-4,0).

(3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OPC+∠DPA=120°.
又∵∠PDA+∠DPA=120°,
∴∠OPC=∠PDA.
∵∠COP=∠A=60°,
∴△COP∽△PAD.

,AB=4,
∴BD=
AD=

∴7OP-OP2=6得OP=1或6.
∴P點坐標為(1,0)或(6,0).
點評:本題是一道動態幾何壓軸題,對學生的分類思想作了重點的考查,是一道很不錯的題.
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