Question

如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上，已知α=36°，則長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng)為

 

（參考數(shù)據(jù)tan36°≈

3

4

）

Answer 1

分析：求ABCD的周長(zhǎng)就是求AB和AD的長(zhǎng)，可分別過(guò)B、D作垂線垂直于l，通過(guò)構(gòu)造直角三角形根據(jù)α=36°和ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在橫格線且每個(gè)橫格寬12mm等條件來(lái)求出AB、AD的長(zhǎng)．

解答：解：作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．
∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=36°．
根據(jù)題意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE中，sinα=

BE

AB

，
∴AB=

BE

sin60°

=

24

0.60

=40（mm）．
在Rt△ADF中，cos∠ADF=

DF

AD

，
∴AD=

DF

cos36°

=

48

0.80

=60（mm）．
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（40+60）=200（mm）．
故答案為200．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)值的計(jì)算．通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．