Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時， 求證：①△ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE=AD﹣BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE+CD=AD+BE

（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

（3）解：當MN旋轉到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關系是：DE=BE﹣AD．

理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD

【解析】（1）①根據AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根據AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據全等三角形的對應邊相等，即可得出CE=AD，CD=BE，進而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根據AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，進而得出∠CAD=∠BCE，再根據AAS即可判定△ADC≌△CEB，進而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）運用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關系是：DE=BE﹣AD．