Question

（2008•北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過B，C兩點．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設直線BC的解析式為y=kx+3，把B點坐標代入解析式求出直線BC的表達式．然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點B，C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出點D，A的坐標．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．過A點作AE⊥BC于點E，求出BE，CE的值．證明△AEC∽△AFP求出PF可得點P在拋物線的對稱軸，求出點P的坐標．
（3）本題要靠輔助線的幫助．作點A（1，0）關于y軸的對稱點A'，則A'（-1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．
解答：解：（1）∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經過y軸上的點C，
∴C（0，3）．
設直線BC的解析式為y=kx+3．
∵B（3，0）在直線BC上，
∴3k+3=0．
解得k=-1．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．（1分）
∵拋物線y=x²+bx+c過點B，C，
∴
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（2分）

（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3．
如圖1，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴AF=AB=1．
過點A作AE⊥BC于點E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=，CE=2．
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，．
解得PF=2．∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標為（2，2）或（2，-2）．（5分）

（3）解法一：
如圖2，作點A（1，0）關于y軸的對稱點A'，則A'（-1，0）．
連接A'C，A'D，
可得A'C=AC=，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A'D²=10．
又∵A'C²=10，
∴A'D²+A'C²=CD²．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45度．（7分）
解法二：
如圖3，連接BD．
同解法一可得CD=，AC=．
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，
∴DB=．
在△CBD和△COA中，，，．
∴．
∴△CBD∽△COA．
∴∠BCD=∠OCA．
∵∠OCB=45°，
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45度．（9分）
點評：本題設計得很精致，將幾何與函數完美的結合在一起，對學生綜合運用知識的能力要求較高，本題3問之間層層遞進，后兩問集中研究角度問題．
中等層次的學生能夠做出第（1）問，中上層次的學生可能會作出第（2）問，但第（2）問中符合條件的P點有兩個，此時學生易忽視其中某一個，成績較好的學生才可能作出第（3）問，本題是拉開不同層次學生分數的一道好題．
本題考點：函數圖形的平移、一次函數解析式的確定、二次函數解析式的確定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性質、勾股定理．