Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D為邊BC上任意一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分別在邊AB，AC上．
（1）如圖a，當△ABC是等邊三角形時，證明：AE+AF=BC．
（2）如圖b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究線段AE，AF，AB之間的數量關系，并對你的猜想加以證明．
（3）如圖c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你對（1），（2）兩題的解題思路計算出線段CD（BD＞CD）的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質求出∠EDB=∠FDC=30°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EB=BD，FC=CD，然后表示出AE+AF即可；
（2）根據等腰三角形兩底角相等求出∠B=∠C=30°，然后解直角三角形表示出BE、CF，再表示出AE+AF整理即可得解；
（3）過點A作AM⊥BC于M，根據等腰三角形的性質求出BM，再利用勾股定理列式求出AM，根據（2）的思路求出AE+AF，過點F作FG⊥BA的延長線于G，過點C作CN⊥BA的延長線于N，利用△ABC的面積求出CN，再利用勾股定理列式求出AN，設AF=x，然后解直角三角形表示出AG、FG，然后表示出EG，在Rt△EFG中，利用勾股定理列出方程求出x，再求出CF，然后解直角三角形即可得到CD．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠EDB=∠FDC=30°，
∴EB=BD，FC=CD，
∴BE+FC=BD+CD=BC，
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-BC，
∴AE+AF=BC；

（2）解：AE+AF=AB．
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BE=BD•cos30°，CF=CD•cos30°，
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF，
=2AB-BD•cos30°-CD•cos30°，
=2AB-BC•cos30°，
=2AB-2AB•cos30°×cos30°，
=AB，
即AE+AF=AB；

（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，
∵AC=AB=10，BC=16，EF=6，
∴BM=CM=8，
由勾股定理得，AM===6，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE中，BE=BD•cos∠B=BD=BD，
在Rt△CDF中，CF=CD•cos∠C=CD=CD，
∴BE+CF=（BD+CD）=BC=×16=，
∴AE+AF=AB+AC-（BE+CF）=2×10-=，
過點F作FG⊥BA的延長線于G，過點C作CN⊥BA的延長線于N，
則S_△ABC=AB•CN=BC•AM，
即×10•CN=×16×6，
解得CN=，
由勾股定理，AN===，
∴sin∠CAN===，
cos∠CAN===，
設AF=x，則AE=-x，
在Rt△AFG中，FG=AF•sin∠CAN=x，
AG=AF•cos∠CAN=x，
∴EG=AE+AG=-x+x=-x，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²，
即6²=（-x）²+（x）²，
整理得，5x²-36x+55=0，
解得x₁=5，x₂=，
∵BD＞CD，
∴AF=AE=5，
∴CF=AC-AF=10-5=5，
CD=CF÷cos∠C=5÷=．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形等邊對等角的性質，勾股定理的應用以及解直角三角形，讀懂題目信息理清求解AE+AF的思路是解題的關鍵，（3）題較為復雜，作輔助線構造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后求出AF的長是解題的關鍵．