Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點O畫圓，使⊙O經過A、B兩點，下列結論正確的序號是

 

（多填或錯填得0分，少填酌情給分）．
①AO=2CO；②AO=BC；③以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切；④延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點．

Answer 1

分析：連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據直角三角形的性質得OC=

1

2

OB=

1

2

OA，再根據三角函數cos∠OBC=

BC

OB

，則BC=

3

2

OB，因為點O在∠ABC的角平分線上，所以點O到直線AB的距離等于OC的長，根據垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點A、B、D將⊙O的三等分．

解答：解：連接OB，∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

OA，
即OA=2OC，
故①正確；
∵cos∠OBC=

BC

OB

，
∴BC=

3

2

OB，
即BC=

3

2

OA，
故②錯誤；
∵∠ABO=∠OBC=30°，
∴點O在∠ABC的角平分線上，
∴點O到直線AB的距離等于OC的長，
即以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切；
故③正確；
延長BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴

AD

=

AB

=

BD

，
∴點A、B、D將⊙O的三等分．
故④正確．
故答案為①③④．

點評：本題考查了直角三角形的性質、勾股定理和垂徑定理，是基礎知識要熟練掌握．