Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP，BD與CF相交于點H.給出下列結論，其中正確結論的個數是（ ）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據等邊三角形的性質和正方形的性質，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，證得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正確由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到故②錯誤；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代換得到PD2=PHPB，故③正確；過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根據三角函數的定義得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，由平行線的性質得到∠EDP=∠DPM，等量代換得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正確．

∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②錯誤；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ ，
∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，
∴PD2=PHPB，故③正確；
如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，
設正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PBsin60°=4× ，PM=PCsin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正確；
故選：B．