Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．

Answer 1

：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設二次函數解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），
將D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x²﹣4x+3；
（2）∵過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，
∴二次函數對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點坐標為：（2，4），
一次函數解析式為；y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
（3）∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AM=3，
∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，
∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，
∴，
∴，
∴PC=1.5，
P點坐標為：（2，1.5）．解析:
：（1）根據圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），可利用交點式求出二次函數解析式；
（2）根據直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長，得出B點的坐標，即可利用待定系數法求出一次函數解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBM，得出，即可求出圓的半徑，即可得出P點的坐標．