Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點．已知反比例函數y=（k＞0）的圖象經過點A（2，m），過點A作AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積為．
（1）求k和m的值；
（2）點C（x，y）在反比例函數y=的圖象上，求當1≤x≤3時函數值y的取值范圍；
（3）過原點O的直線l與反比例函數y=的圖象交于P、Q兩點，試根據圖象直接寫出線段PQ長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積公式先得到m的值，然后把點A的坐標代入y=，可求出k的值；
（2）根據反比例函數得性質求解；
（3）P，Q關于原點對稱，則PQ=2OP，設P（a，），根據勾股定理得到OP==，從而得到OP最小值為，于是可得到線段PQ長度的最小值．
解答：解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=•OB•AB=×2×m=，
∴m=；
∴點A的坐標為（2，），
把A（2，）代入y=，得=
∴k=1；
（2）∵當x=1時，y=1；當x=3時，y=，
又∵反比例函數y=，在x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴當1≤x≤3時，y的取值范圍為≤y≤1；
（3）由圖象可得：P，Q關于原點對稱，
∴PQ=2OP，
反比例函數解析式為y=，設P（a，），
∴OP==，
∴OP最小值為，
∴線段PQ長度的最小值為2．
點評：本題考查了點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；也考查了三角形的面積公式以及代數式的變形能力．