Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．

⑴ 在圖-1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

⑵ 當三角尺沿AC方向平移到圖-2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

⑶ 當三角尺在⑵的基礎上沿AC方向繼續平移到圖-3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，⑵中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

Answer 1

（1）BF=CG；

證明：在△ABF和△ACG中，

∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，

∴△ABF≌△ACG（AAS），

∴BF=CG．

（2）DE+DF=CG；

證明：過點D作DH⊥CG于點H（如圖）．

            

∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG，

∴四邊形EDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．

∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，

∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．

∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

（3）仍然成立．