Question

已知p，q都是質數，且使得關于x的二次方程x²-（8p-10q）x+5pq=0至少有一個正整數根，求所有的質數對（p，q）．

Answer 1

根據一元二次方程根與系數的關系可得：x₁+x₂=8p-10q，
x₁•x₂=5pq，
質數都是正整數．所以5pq肯定是正整數，
有一根是正整數，x₁x₂肯定都是正整數，
可以知道有幾種可能，
x₁=5 x₂=pq；x₁=5p x₂=q；x₁=5q x₂=p；x₁=1，x₂=5pq；
將x₁，x₂代入 x₁+x₂=8p-10q，
5+pq=8p-10q，（1）
p（q-8）+10（q-8）+80+5=0，
（q-8）（p+10）=-85=-5×17=-1×85，
q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），
5p+q=8p-10q，11q=3p，（2）
p=11，q=3，
5q+p=8p-10q，15q=7p，（3）
p=15，q=7（舍去），
5pq+1=8p-10q，（4）
5q（p+2）-8（p+2）+16+1=0，
（p+2）（5q-8）=-17，
p=15，q=

7

5

（舍去），p=-1，q=-

9

5

（舍去），q=

9

5

，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去），
最后p=11，q=3，
或p=7，q=3．
故存在兩對質數（11，3）和（7，3）．