Question

已知m，n是方程ax²+bx+c=0的兩個實數根，設s₁=m+n，s₂=m²+n²，s₃=m³+n³，…，s₁₀₀=m¹⁰⁰+n¹⁰⁰，…，則as₂₀₁₀+bs₂₀₀₉+cs₂₀₀₈的值為（ ）
A．0
B．1
C．2010
D．2011

Answer 1

【答案】分析：根據題意得到as₂₀₁₀+bs₂₀₀₉+cs₂₀₀₈=a（m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰）+b（m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹）+c（m²⁰⁰⁸+n²⁰⁰⁸），再分組提公因式得到原式=m²⁰⁰⁸（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁸（an²+bn+c），然后利用方程解的定義得到am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，再整體代入即可得到原式的值．
解答：解：根據題意得，as₂₀₁₀+bs₂₀₀₉+cs₂₀₀₈
=a（m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰）+b（m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹）+c（m²⁰⁰⁸+n²⁰⁰⁸）
=a•m²⁰¹⁰+a•n²⁰¹⁰+bm²⁰⁰⁹+b•n²⁰⁰⁹+c•m²⁰⁰⁸+c•n²⁰⁰⁸
=m²⁰⁰⁸（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁸（an²+bn+c）
而m，n是方程ax²+bx+c=0的兩個實數根，
∴am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，
∴as₂₀₁₀+bs₂₀₀₉+cs₂₀₀₈
=0．
故選A．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解的意義：使一元二次方程左右兩邊成立的未知數的值叫一元二次方程的解．也考查了乘方的意義．