Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝k1x+2與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，OA＝OB，直線l2：y＝k2x+b經過點C（1，﹣），與x軸、y軸和線段AB分別交于點E、F、D三點．

（1）求直線l1的解析式；

（2）如圖①：若EC＝ED，求點D的坐標和△BFD的面積；

（3）如圖②：在坐標軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（3，），面積為6；（3）存在，滿足條件的點P坐標為（0，4﹣6）或（2，0），理由見解析

【解析】

（1）求出點A的坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，﹣），可得CM＝DN＝，再利用待定系數法即可解決問題；

（3）分點P在y軸或x軸兩種情形分別求解即可解決問題；

解：（1）∵直線y＝k1x+2與y軸B點，

∴B（0，2），

∴OB＝2，

∵OA＝OB＝6，

∴A（6，0），

把A（6，0）代入y＝k1x+2得到，k1＝﹣，

∴直線l1的解析式為y＝﹣x+2．

（2）如圖1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．

∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，

∴△CME≌△DNE（AAS），

∴CM＝DN

∵C（1，﹣），

∴CM＝DN＝，

當y＝時，＝﹣x+2，

解得x＝3，

∴D（3，），

把C（1，﹣），D（3，）代入y＝k2x+b，得到，

解得，

∴直線CD的解析式為y＝x﹣2，

∴F（0，﹣2），

∴S△BFD＝×4×3＝6．

（3）①如圖③﹣1中，當PC＝PD，∠CPD＝90°時，作DM⊥OB于M，CN⊥y軸于N．設P（0，m）．

∵∠DMP＝∠CNP＝∠CPD＝90°，

∴∠CPN+∠PCN＝90°，∠CPN+∠DPM＝90°，

∴∠PCN＝∠DPM，

∵PD＝PC，

∴△DMP≌△NPC（AAS），

∴CN＝PM＝1，PN＝DM＝m+，

∴D（m+，m+1），

把D點坐標代入y＝﹣x+2，得到：m+1＝﹣（m+）+2，

解得m＝4﹣6，

∴P（0，4﹣6）．

②如圖③﹣2中，當PC＝PC，∠CPD＝90時，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．設P（n，0）．

同法可證：△AMD≌△PNC，

∴PM＝CN＝，DM＝PN＝n﹣1，

∴D（n﹣，n﹣1），

把D點坐標代入y＝﹣x+2，得到：n﹣1＝﹣（n﹣）+2，

解得n＝2

∴P（2，0）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（0，4﹣6）或（2，0）