Question

如圖，在?ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，連接DE、BF、BD．
（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件不難得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分別為邊AB、CD的中點，那么AE=CF，這樣就具備了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜邊上的中線，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四邊形BFDE是個菱形．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，

AD=CB ∠A=∠C AE=CF

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．
證明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中點，
∴DE=

1

2

AB=BE．
∵在?ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，
∴EB∥DF且EB=DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∴四邊形BFDE是菱形．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定，平行四邊形的性質和菱形的判定等知識點．