Question

已知x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的兩個實根，A、B為x軸上的兩點，其橫坐標分別為x₁、x₂（x₁＜x₂）．O為坐標原點，P點在y軸上（P點異于原點）．設∠PAB=α，∠PBA=β．
（1）若α、β都是銳角，求k的取值范圍．
（2）當α、β都是銳角，α和β能否相等？若能相等，請說明理由；若不能相等，請證明，并比較α、β的大小．

Answer 1

解：（1）∵x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的兩個實根，A、B為x軸上的兩點，其橫坐標分別為x₁、x₂（x₁＜x₂）．
∴△=k²-10k-7＞0得k＜5-4或k＞5+4，
若α、β都是銳角，
∴點A、B在原點兩旁，
∴x₁•x₂＜0，
∴k＜-4；

（2）設α=β，
則x₁+x₂=0，
∴k=3，
所以α≠β；
因為x₁+x₂=k-3＜-7＜0，
所以|x₁|＞|x₂|，
所以OA＞OB，
則PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．
分析：（1）由于x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的兩個實根，由于得到其判別式是正數，由此可以確定k的取值范圍，而A、B為x軸上的兩點，其橫坐標分別為x₁、x₂（x₁＜x₂），O為坐標原點，P點在y軸上（P點異于原點）．設∠PAB=α，∠PBA=β，若α、β都是銳角，由此得到點A、B在原點兩旁，所以x₁•x₂＜0，這樣就可以解決問題；
（2）若α=β，則x₁+x₂=0，由此得到k=3，所以判別式是正數，所以的得到α≠β；然后利用根與系數的關系即可得到α、β的大小關系．
點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數的關系，首先利用判別式確定k的取值范圍，然后利用根與系數的關系即可解決問題．