Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是．
（1）求點B的坐標；
（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由面積公式及A點縱坐標可求OB，確定B點坐標；
（2）拋物線過O（0，0），B（-2，0）兩點，設拋物線交點式y=ax（x+2），將點A（1，）代入求a即可；
（3）存在．根據拋物線的對稱性，得出點O關于對稱軸的對稱點為B點，連接AB，與對稱軸的交點C即為所求，根據A、B兩點坐標求直線AB的解析式，由對稱軸x=-1求C點縱坐標．
解答：解：（1）由題意得：OB•=，
∴OB=2，
∴B（-2，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點A（1，），得a=，
∴y=x²+x；

（3）存在點C．
B、O兩點關于拋物線對稱軸x=-1對稱，連接AB交拋物線對稱軸于C點連接OC、OA，C點即為所求．
設直線AB解析式為y=kx+b，將A、B兩點坐標代入，得，
解得，
∴y=x+，
當x=-1時，y=，∴C（-1，）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．