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(2001•金華)如圖,已知⊙O1,經(jīng)過⊙O2的圓心O2,且與⊙O2相交于A,B兩點,點C為弧AO2B上的一動點(不運動至A,B),連接AC,并延長交⊙O2于點P,連接BP,BC.
(1)先按題意將圖1補完整,然后操作,觀察.圖1供操作觀察用,操作時可使用量角器與刻度尺.當點C在弧AO2B上運動時,圖中有哪些角的大小沒有變化;
(2)請猜想△BCP的形狀,并證明你的猜想(圖2供證明用);
(3)如圖3,當PA經(jīng)過點O2時,AB=4,BP交⊙O1于D,且PB,DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根,求⊙O1的半徑.

【答案】分析:(1)用圓周角定理判斷,同弧所對的圓周角相等;
(2)用圓周角、圓心角定理及三角形外角的性質(zhì)判斷;
(3)連接AD,作O2E⊥BP于E,運用兩根關(guān)系,割線定理得出2PO22=PB2-10,由垂徑定理,勾股定理得出4PO22=PB2+16,可求PB;又PB•BD=10,可求BD;在△ABD中,由勾股定理可求AD,半徑可得.
解答:解:(1)∠ACB,∠BCP,∠P,∠CBP的大小沒有變化;
∵在⊙O1中,∠ACB是AB弧所對的圓周角,當點C運動時,大小不變;
∴在⊙O2中,∠P是AB弧所對的圓周角,當點C運動時,∠P大小不變;

(2)△BCP是等腰三角形;
理由:連接AO2
∴∠ACB=∠AO2B,
∵在⊙O2中,∠AO2B=2∠P,即∠ACB=2∠P;
又∵∠ACB=∠P+∠PBC,
∴∠P=∠PBC,
∴△BCP是等腰三角形;

(3)連接AD;
∵AP為⊙O2的直徑,
∴∠ABP=90°,
∴AD為⊙O1的直徑;
作O2E⊥BP于E,
∴O2E為△ABP的中位線,O2E=AB=2,
∴由割線定理得:PO2•PA=PD•PB,2PO22=(PB-BD)•PB;
∵PB•BD=10,
∴2PO22=PB2-10,
在△O2EP中,由勾股定理得PO22=(PB)2+O2E2即:4PO22=PB2+16,
∴PB=6又PB•BD=10,
∴BD=
在△ABD中,由勾股定理得:AD==
∴⊙O1半徑是AO1=
點評:本題考查了圓周角定理,垂徑定理,割線定理,勾股定理及兩根關(guān)系的運用,具有較強綜合性.
練習(xí)冊系列答案
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B.6
C.4
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(1)當點B坐標為(1,0)時,求點C的坐標;
(2)如果sinA和cosA是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根,過原點O作OD⊥AC,垂足為D,且點D的縱坐標為a2,求b的值.

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(3)如圖3,當PA經(jīng)過點O2時,AB=4,BP交⊙O1于D,且PB,DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根,求⊙O1的半徑.

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(2)如果sinA和cosA是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根,過原點O作OD⊥AC,垂足為D,且點D的縱坐標為a2,求b的值.

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