Question

如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別為AC、BC的中點．
（1）求證：四邊形EFCD是菱形；
（2）如果AB=8，求D、F兩點間的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線定理即可得到四邊形EFCD的四邊相等，即可證得；
（2）連接DF，與EC相交于點G，△EFC是等邊三角形，則△EFG是直角三角形，利用三角函數即可求得GF的長，根據DF=2GF即可求得．
解答：（1）證明：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵點E、F分別為AC、BC的中點
∴EF=AB，EC=AC，FC=BC
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC，
∴四邊形EFCD是菱形．

（2）解：連接DF，與EC相交于點G，
∵四邊形EFCD是菱形
∴DF⊥EC，垂足為G  
∵EF=AB=4，EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在Rt△EFG中，∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，理解三角形的中位線定理是關鍵．