Question

【題目】如圖(1)，在平面直角坐標系中，拋物線經過

A(-1，0)、B(0，3)兩點，與軸交于另一點C，頂點為D．

(1)求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；

(2)經過點B、D兩點的直線與軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；

(3)如圖(2)P(2，3)是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．

圖(1) 圖(2)

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ， ，D(1，4) ；

（2）點F的坐標為(2，3)；

（3）S△PQA的最大面積為，此時Q.

【解析】試題分析：(1)、將A、B兩點的坐標代入，利用待定系數法求出函數解析式，根據方程的思想求出點C的坐標，將二次函數進行配方，從而得出點D的坐標；(2)、設直線BD的解析式為y=kx+b，將B、D兩點坐標代入求出函數解析式，從而得出點E的坐標，根據平行四邊形的性質得出BF=AE=2，根據點F的橫坐標以及函數解析式得出點F的坐標；(3)、設Q， 作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，根據題意將AR、QR、PS、RS和AS用含m的代數式表示出來，根據S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA得出關于m的函數解析式，將函數解析式進行配方，從而得出最大值和點Q的坐標.

試題解析：(1)∵拋物線經過A(-1，0)、B(0，3)兩點，

∴　 解得：

拋物線的解析式為：

∵由，解得： ∴

∵由 ∴D(1,4)

(2)∵四邊形AEBF是平行四邊形， ∴BF=AE． 設直線BD的解析式為y=kx+b，則
∵B(0，3)，D(1,4) ∴n=3 k+n=4 解得：k=1，n=3

∴直線BD的解析式為y=x+3 當y=0時，x=-3 ∴E(-3，0)， ∴OE=3，

∵A(-1，0) ∴OA=1， ∴AE=2 ∴BF=2，

∴F的橫坐標為2， ∴y=3， ∴F(2，3)；

(3)如圖，設Q， 作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，且P(2，3)，

∴AR= ，QR=， PS=3，RS=2-m，AS=3

∴S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA=

=

∴S△PQA=

∴當時，S△PQA的最大面積為， 此時Q