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【題目】如圖(1),在平面直角坐標系中,拋物線經過

A(-1,0)、B(0,3)兩點,與軸交于另一點C,頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式及點C、D的坐標;

(2)經過點B、D兩點的直線與軸交于點E,若點F是拋物線上一點,以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,求點F的坐標;

(3)如圖(2)P(2,3)是拋物線上的點,Q是直線AP上方的拋物線上一動點,求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標.

圖(1) 圖(2)

【答案】(1)拋物線的解析式為: ,D(1,4) ;

(2)點F的坐標為(2,3);

(3)S△PQA的最大面積為,此時Q.

【解析】試題分析:(1)、將A、B兩點的坐標代入,利用待定系數法求出函數解析式,根據方程的思想求出點C的坐標,將二次函數進行配方,從而得出點D的坐標;(2)、設直線BD的解析式為y=kx+b,將B、D兩點坐標代入求出函數解析式,從而得出點E的坐標,根據平行四邊形的性質得出BF=AE=2,根據點F的橫坐標以及函數解析式得出點F的坐標;(3)、設Q, 作PS⊥x軸,QR⊥x軸于點S、R,根據題意將AR、QR、PS、RS和AS用含m的代數式表示出來,根據S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA得出關于m的函數解析式,將函數解析式進行配方,從而得出最大值和點Q的坐標.

試題解析:(1)∵拋物線經過A(-1,0)、B(0,3)兩點,

∴  解得:

拋物線的解析式為:

∵由,解得:

∵由 ∴D(1,4)

(2)∵四邊形AEBF是平行四邊形, ∴BF=AE. 設直線BD的解析式為y=kx+b,則
∵B(0,3),D(1,4) ∴n=3 k+n=4 解得:k=1,n=3

∴直線BD的解析式為y=x+3 當y=0時,x=-3 ∴E(-3,0), ∴OE=3,

∵A(-1,0) ∴OA=1, ∴AE=2 ∴BF=2,

∴F的橫坐標為2, ∴y=3, ∴F(2,3);

(3)如圖,設Q, 作PS⊥x軸,QR⊥x軸于點S、R,且P(2,3),

∴AR= ,QR=, PS=3,RS=2-m,AS=3

∴S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA=

=

∴S△PQA=

∴當時,S△PQA的最大面積為, 此時Q

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銷售時段

銷售數量

銷售收入

A種型號

B種型號

第一周

3臺

5臺

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第二周

4臺

10臺

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鴨的質量/千克

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

烤制時間/分

40

60

80

100

120

140

160

180

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A.140
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C.148
D.160

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