Question

【題目】如圖，E、F兩點分別在平行四邊形ABCD的邊CD、AD上，AE＝CF，AE、CF相交于點O．

（1）用尺規作出∠AOC的角平分線OM（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：OM一定經過B點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）用尺規作出∠AOC的角平分線OM即可；

（2）根據同底等高的三角形和平行四邊形面積的關系可以證明S△ABE=S△BCF，作BG⊥OC于點G，BH⊥OA于點H，再根據角平分線的判定定理即可證明OM一定經過B點．

解：（1）如圖，OM即為所求；

（2）如圖，連接BE、BF，

∵△ABE以AB為底，高是平行四邊形AB邊的高，

∴S△ABE＝S平行四邊形ABCD，

同理S△BCF＝S平行四邊形ABCD，

∴S△ABE＝S△BCF，

作BG⊥OC于點G，BH⊥OA于點H，

∴S△ABE＝AEBH，

S△BCF＝CFBG，

∵S△ABE＝S△BCF，AE＝CF，

∴BH＝BG，

∵BG⊥OC，BH⊥OA，

∴點B在∠AOC的平分線上，

即OM一定經過B點．