Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

分析：由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形．

解答：證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四邊形ABCD是正方形．

點評：此題考查了正方形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及三角形外角的性質．此題難度適中，注意數形結合思想的應用．