Question

4．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE=OC，連接CE，OE．
（1）求證：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明OCED是矩形，可得OE=CD即可；
（2）根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵AC⊥BD，
∴平行四邊形OCED是矩形．  
∴OE=CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
∴在矩形OCED中，
CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACE中，
AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，是基礎題，熟記矩形的判定方法與菱形的性質是解題的關鍵．