Question

在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，P是內一點，且PA=1，PB=2，PC=3，試求∠APB的度數．

Answer 1

解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PBC繞B點逆時針旋轉90°得到△DBA，如圖，
∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，
∴△PBD為等腰直角三角形，
∴PD=PB=2，∠DPB=45°，
在△APD中，AP=1，PD=2，AD=3，
∵1²+（2）²=3²，
∴AP²+PD²=AD²，
∴△APD為直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．
分析：由于∠ABC=90°，BC=AB，則可以把△PBC繞B點逆時針旋轉90°得到△DBA，根據旋轉的性質得到BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，得到△PBD為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到PD=PB=2，∠DPB=45°，在△APD中易得AP²+PD²=AD²，根據勾股定理的逆定理得到△APD為直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB計算即可．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及勾股定理的逆定理．