Question

如圖，DB為半圓的直徑，且BD=2，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F．
（1）連接BE，求證：BE平分∠DBC；
（2）當AD=1時，試探究四邊形BOEF的形狀；
（3）設AD=x，CF=y，求y關于x的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）連接ED，由已知DB為半圓的直徑，BC⊥AC可得∴∠BED=∠BCD=90°，再由AC切半圓于點E得∠BEC=∠BDE，從而證得BE平分∠DBC；
（2）連接EF、OE，先證明Rt△AOE，得出∠A=30°，再證明四邊形BOEF為平行四邊形，從而探究出四邊形BOEF的形狀；
（3）連接DF、OE，過點D作DG⊥AC與點G，先證明四邊形CGDF是矩形，得出DG=CF=y；再證明△AOE∽△ADG，根據相似三角形的性質即可求出答案．

解答：（1）證明：連接ED，
∵DB為半圓的直徑，∴∠BED=90°，
又BC⊥AC，∴∠BCE=90°，
∴∠BED=∠BCE，
∵AC切半圓于點E，∴∠BEC=∠BDE，
∴∠DBE=∠EBC，
所以BE平分∠DBC；

（2）解：當AD=1時，四邊形BOEF的形狀為菱形；
證明：連接EF、OE，
∵BD=2，AD=1，∴OB=OE=OD=AD=1，
∴∠OEB=∠OBE=∠CBE，
∴OE∥BC，∴∠OEA=∠BCE=90°，
∵OE=AD=OD=

1

2

AO，∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
由（1）得：∠CBE=∠OBE=30°，
又AC切半圓于點E，∴∠CEF=∠DBE=30°，
∴∠BEF=90°-30°-30°=30°，
∴∠BEF=∠OBE，
∴EF∥OB，已證OE∥BC，
∴四邊形BOEF為平行四邊形，
又OB=OE，∴OE=BF=OB=EF，
所以四邊形BOEF的形狀為菱形；

（3）解：連接DF、OE，過點D作DG⊥AC于點G．
∵∠C=∠CGD=∠CFD=90°，
∴四邊形CGDF是矩形，
∴DG=CF=y；
∵OE∥DG，
∴△AOE∽△ADG，
∴

OE

AO

=

DG

AD

，
即

1

x+1

=

y

x

，
化簡可得y=

x

1+x

．

點評：此題考查的知識點是切線的性質、圓周角定理及菱形的判定，關鍵是：
（1）運用圓周角定理和弦切角證明；
（2）證明Rt△AOE，得出∠A=30°，再證明四邊形BOEF為平行四邊形；
（3）滲透了函數的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數，x叫自變量．