Question

11．如圖，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，點P是射線AB上的一個動點，∠CPM=30°，點Q是射線PM上的一個動點．則CQ長度的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意可知：當CP確定時則當CQ⊥PM時，CQ最小，而CP最小時則CQ也最小，故當CP⊥AN時，CP最小，由直角三角形的性質和三角函數的定義可求得CP的最小值為5，可求得CQ最小值．

解答 解：由題意可知當CP最小時，可知在△CPQ中當CQ⊥PM時，CQ有最小值，
當CP⊥AN，CQ⊥PM時，如圖，
∵在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，
∴PC=5，
∵在Rt△CPQ中，∠CPM=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{5}{2}$，
則CQ的最小值是$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查直角三角形的性質及三角函數的定義，找到當CQ取得最小值時的點P和點Q的位置是解題的關鍵．