Question

如圖，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是線段AB上的一個動點，連接PD，PC

（1）設AP=x，用二次根式表示線段PD，PC的長；
（2）設y=PD+PC，求當點P在線段AB上運動時，y的最小值；
（3）利用（2）的結論，試求代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理即可用二次根式表示線段PD，PC的長；
（2）作D點關于AB的對稱點D′，連接CD′，根據勾股定理求出CD′的長，即為y的最小值；
（3）根據勾股定理構造出圖形，利用兩點之間線段最短的方法即可求出代數式的最小值．

解答：解：（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD=

AD2+AP2

=

4+x2

；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC=

PB2+BC2

=

(12-x)2+9

；

（2）如右圖．作D點關于AB的對稱點D′，連接CD′，交AB于P，則PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即為y的最小值．
過D′作AB的平行線，交CB的延長線于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′=

D′E2+CE2

=13，
故y的最小值為13；

（3）如右圖．構造圖形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=

x2+9

，PC=

(24-x)2+16

，
由對稱性可知，PC+PD的最小值為PC+PD′=CD′=

D′E2+CE2

=

242+(4+3)2

=25．
故代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值為25．

點評：本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題，構造出圖形利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．