Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，有任意三角形，當這個三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時，稱這個三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”．

（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），這個點中，能與點O組成“和諧三角形”的點是 ，“和諧距離”是 ；

（2）連接BD，點M，N是BD上任意兩個動點（點M，N不重合），點E是平面內任意一點，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點E的橫坐標t的取值范圍；

（3）已知⊙O的半徑為2，點P是⊙O上的一動點，點Q是平面內任意一點，△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，請描述出點Q所在位置．

Answer 1

【答案】（1）A,B；；（2）；（3）點Q在以點O為圓心，4為半徑的圓上；或在以點O為圓心，為半徑的圓上．

【解析】

（1）由題意利用“和諧三角形”以及“和諧距離”的定義進行分析求解；

（2）由題意可知以BD的中點為圓心，以BD為直徑作圓此時可求點E的橫坐標t的取值范圍；

（3）根據題意△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，畫出圖像進行分析.

解：（1）由題意可知當A（2,0），B（0,4）與O構成三角形時滿足圓周角定理即能與點O組成“和諧三角形”，此時“和諧距離”為；

（2）根據題意作圖，以BD的中點為圓心，以BD為直徑作圓，

可知當E在如圖位置時求點E的橫坐標t的取值范圍，

解得點E的橫坐標t的取值范圍為；

（3）如圖

當PQ為“和諧邊”時，點Q在以點O為圓心，為半徑的圓上；

當OQ為“和諧邊”時，點Q在以點O為圓心，4為半徑的圓上.