Question

已知二次函數y=x²＋bx＋c與x軸交于A（－1，0）、B（1，0）兩點.

（1）求這個二次函數的關系式；

（2）若有一半徑為r的⊙P，且圓心P在拋物線上運動，當⊙P與兩坐標軸都相切時，求半徑r的值.

（3）半徑為1的⊙P在拋物線上，當點P的縱坐標在什么范圍內取值時，⊙P與y軸相離、相交？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得  解得  

∴二次函數的關系式是y=x²－1．                 

（2）設點P坐標為（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x．

由y=x，得x²－1=x，即x²－x－1=0，解得x=．

由y=－x，得x²－1=－x，即x²＋x－1=0，解得x=．

∴⊙P的半徑為r=|x|=．                       

（3）設點P坐標為（x，y），∵⊙P的半徑為1，

∴當y＝0時，x²－1=0，即x＝±1，即⊙P與y軸相切，

又當x＝0時，y＝－1，

∴當y＞0時，  ⊙P與y相離；

當－1≤y＜0時，  ⊙P與y相交.

【解析】（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得到一個關于b、c的方程組，求出方程組的解即可得出二次函數的關系式；

（2）設點P坐標為（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x，把y=±x分別代入由（1）求出的二次函數的關系式，求出x的值，即可得到半徑r的值；

（3）設點P坐標為（x，y），先求出⊙P與y軸相切時x=±1，再根據圓與直線的位置關系的性質（r＜d時相離，r＞d相交）判斷即可．