Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．求證：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD是⊙O的切線得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的內角和即可證明題目的結論；
（2）如圖，連接BC．由AB是直徑得到∠ACB=90°，然后利用已知條件可以證明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接著利用相似三角形的性質即可解決問題．
解答：證明：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
兩邊除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）

（2）如圖，連接BC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD與Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴，即AC²=AB•AD．（9分）
點評：本題考查了圓的切線性質，及相似三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．