Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，P是坐標系內任意一點，點P到⊙O的距離SP的定義如下：若點P與圓心O重合，則SP為⊙O的半徑長；若點P與圓心O不重合，作射線OP交⊙O于點A，則SP為線段AP的長度．

圖1為點P在⊙O外的情形示意圖．

（1）若點B（1，0），C（1，1），D(0，)，則SB= ；SC= ；SD= ；

（2）若直線y=x+b上存在點M，使得SM=2，求b的取值范圍；

（3）已知點P，Q在x軸上，R為線段PQ上任意一點．若線段PQ上存在一點T，滿足T在⊙O內且ST≥SR，直接寫出滿足條件的線段PQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）0，-1，，（2）﹣3≤b≤3；（3）4．

【解析】

試題分析：（1）根據點的坐標和新定義解答即可；

（2）根據直線y=x+b的特點，結合SM=2，根據等腰直角三角形的性質解答；

（3）根據T在⊙O內，確定ST的范圍，根據給出的條件、結合圖形求出滿足條件的線段PQ長度的最大值．

試題解析：（1）∵點B（1，0），

∴SB=0，

∵C（1，1），

∴SC=﹣1，

∵D(0，)，

∴SD=，

（2）設直線y=x+b與分別與x軸、y軸交于F、E，

作OG⊥EF于G，

∵∠FEO=45°，

∴OG=GE，

當OG=3時，GE=3，

由勾股定理得，OE=3，

此時直線的解析式為：y=x+3，

∴直線y=x+b上存在點M，使得SM=2，b的取值范圍是﹣3≤b≤3；

（3）∵T在⊙O內，

∴ST≤1，

∵ST≥SR，

∴SR≤1，

∴線段PQ長度的最大值為1+2+1=4．